Расчет рамы испытывающей сложное сопротивление - cопротивление материалов

Исходные данные в1=4м, в2=3м, в3=2м, р1=3кН, р2=4кН, р3=2кН, q1=3кН/м, q2=4 кН/м, М1=3кН*м, М2=4кН*м
Цель работы: Определение опасного сечения пространственной конструкции и расчёт на прочность её элементов.
Порядок выполнения:
1. Определение и построение эпюр нормальных и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов в элементах стержневой конструкции.
2. Анализ напряженного состояния каждого элемента конструкции
3. Расчёт размеров поперечных сечений
4. Выбор наиболее экономичного профиля элементов конструкции

Решение:

Построение эпюр рассмотрим на конструкции. Система стержней, соединенных, как показано на рис. 1, а, нагружена силами . Допускаемое напряжение на растяжении – сжатии . Первый стержень длиной м имеет прямоугольное сечение с отношением сторон , второй и третий – круглое сечение.
Для данной конструкции (составного ломаного бруса) можно не определять реакции в заделке, если все участки рассматривать со стороны свободного конца конструкции.
Ординаты эпюр откладывают от продольной оси стержней, поэтому в масштабе надо вычертить четыре контура ломаного бруса, на которых в дальнейшем будут построены эпюры.

Стержень I. Составим выражения для внутренних усилий в элементах бруса, пользуясь методом сечений. Возьмем сечение на расстоянии x1 от свободного конца стержня.

В этом сечении будут действовать силы:

Стержень II
В этом сечении будут действовать силы:


Стержень III
В этом сечении будут действовать силы:



Эпюры

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ

На основании построенных эпюр определяем вид деформаций стержней.
Первый стержень работает на косой изгиб, так как изгибается в двух плоскостях моментами . Наибольшие нормальные напряжения возникают в сечении с наибольшими моментами . Условие прочности следует написать для точки, наиболее удаленной от нейтральной оси, в которой напряжения от обоих моментов будут одного знака.
Для определения знаков напряжений рассмотрим деформацию стержня. Так, под действием момента верхние волокна растягиваются, нижние сжимаются, под действием момента растягиваются правые, а сжимаются левые волокна. Полученные знаки напряжений указаны на рисунке.
Запишем условие прочности для опасных точек 2 и 4:
.
Для нашего случая

По условию , тогда

Откуда
.
Вычислим нормальные напряжения в точках:
,
откуда:


Построим эпюры напряжений по контуру сечения. Положительные напряжения откладываем от контура влево. На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю. По эпюрам σ можно определить нулевые точки на контуре сечения и через них провести нейтральную ось.
Касательные напряжения вычисляем по преобразованной формуле Журавского для максимальных напряжений в прямоугольном сечении отдельно от :
;
Суммарное касательное напряжение равно геометрической сумме этих напряжений, а наибольшее касательное напряжение будет в центре стержня:

Условие прочности выполняется.

Второй стержень работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и растяжением. Поперечное сечение стержня круглое, поэтому изгиб будет плоским под действием результирующего момента:
.
При плоском изгибе нейтральная ось перпендикулярна результирующему моменту, поэтому её положение легко определяется.
В наиболее удаленных точках от нейтральной оси будут наибольшие нормальные напряжения изгиба . Наибольшие касательные напряжения при кручении будут на окружности стержня. Кроме того, под действием перерезывающей силы возникают касательные напряжения , достигающие максимума в центре стержня.
Эпюры распределения всех напряжений приведены на рисунке. Напряжения от перерезывающей и нормальной сил значительно меньше напряжений от изгибающего и крутящего моментов, поэтому опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной оси точки А и Б. Здесь материал находится в условиях плоского напряженного состояния.
Условие прочности по IV теории прочности имеет вид:

при
где W – момент сопротивления относительно оси, Wp – полярный момент сопротивления.
При подборе сечения напряжениями от нормальной силы, ввиду их малой величины, можно пренебречь, тогда предварительное условие прочности примет вид:
,
отсюда

Вычислим нормальные и касательные напряжения.
Наибольшее нормальное напряжение от изгиба:

Наибольшее касательное напряжение при изгибе:

Наибольшее касательное напряжение при кручении:

Для окончательной проверки подставим вычисленные напряжения в условие прочности

условие прочности выполнено.

Третий стержень работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и растяжением. Поперечное сечение стержня круглое, поэтому изгиб будет плоским под действием результирующего момента:
.
При плоском изгибе нейтральная ось перпендикулярна результирующему моменту, поэтому её положение легко определяется.
В наиболее удаленных точках от нейтральной оси будут наибольшие нормальные напряжения изгиба . Наибольшие касательные напряжения при кручении будут на окружности стержня. Кроме того, под действием перерезывающей силы возникают касательные напряжения , достигающие максимума в центре стержня, и от нормальной силы – равномерно распределенные по сечению нормальные напряжения .
Эпюры распределения всех напряжений приведены на рисунке. Напряжения от перерезывающей и нормальной сил значительно меньше напряжений от изгибающего и крутящего моментов, поэтому опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной оси точки А и Б. Здесь материал находится в условиях плоского напряженного состояния.
Условие прочности по IV теории прочности имеет вид:

где W – момент сопротивления относительно оси, Wp – полярный момент сопротивления.
При подборе сечения напряжениями от нормальной силы, ввиду их малой величины, можно пренебречь, тогда предварительное условие прочности примет вид:
,
отсюда

Вычислим нормальные и касательные напряжения.
Наибольшее нормальное напряжение от изгиба:

Наибольшее касательное напряжение при изгибе:

Наибольшее касательное напряжение при кручении:

Нормальное напряжение от продольной силы:

Из расчетов видно, что действительно значительно меньше . Строго говоря, нормальная сила смещает нейтральную ось от центра тяжести сечения. Определить новое положение нейтральной оси можно графически по суммарной эпюре нормальных напряжений или вычислить аналитически.
Обозначим смещение нейтральной оси с центра тяжести через u. Нормальные напряжения на нейтральной оси равны нулю. Тогда уравнение примет вид:

отсюда
.

Для окончательной проверки подставим вычисленные напряжения в условие прочности


условие прочности выполнено.

ВЫБОР НАИБОЛЕЕ ЭКОНОМИЧНОГО ПРОФИЛЯ СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ

Пусть в рамках рассматриваемого примера площадь поперечного сечения стержня на всех четырех участках одинакова. Необходимо выбрать наиболее экономичный, с точки зрения металлоемкости, профиль из следующих двух: круглый; прямоугольный с соотношением сторон ; и круглого трубчатый с соотношением диаметров (здесь D, d – соответственно наружный и внутренний диаметры).
На основании построенных эпюр определим опасное сечение стержня. Для нашего примера оно будет находиться в точке с наибольшими значениями изгибающего и крутящего моментов, т.е. в заделке. Стержень на этом участке работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и растяжением.
Условие прочности (по III теории прочности) имеет вид:

где
При подборе сечения напряжениями от нормальной силы N, ввиду их малости, можно пренебречь, тогда условие прочности примет вид:

откуда
.
Определим площади поперечных сечений для различных профилей стержня.
Для круга:

Для прямоугольника:

тогда
Для трубчатого сечения:

где ,
тогда

Таким образом, наименьшую площадь поперечного сечения имеет трубчатый профиль, т.е. он является наиболее экономичным по металлоемкости.


Cкачать бесплатно пример решения задач - Расчет рамы испытывающей сложное сопротивление